あらかじめサーバBの実行用アカウントが、サーバAへパスワード無しでログインできる状態にしてください。
以下のURLが参考になるかと思います。
http://www.atmarkit.co.jp/flinux/rensai/linuxtips/447nonpassh.html
セキュリティ面での不安を感じられるかもしれませんが、サーバBのrootあるいは実行用アカウントを乗っ取られない限りは安全です。
その上で、以下のコマンドを実行またはcrontabに登録すれば目的を達成できるかと思います。
scp ユーザ名@ホスト名:/path/xxxxx.csv.`date +%Y%m%d` . || echo "log transfer failed" | mail -s "error" error_report@example.net
